出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# F% F7 m1 s6 ]' \- t
2。下边证明有没有毛病？
) P0 v0 J+ w/ }$ X! X
设  a=b
6 n6 S* v' ?" h) S; ~5 E# ?
$ P7 ]8 D6 L  `1 X2 {& H/ w则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
' m1 m1 Z4 l7 q" n  n# sa=2a
1=2
: Y$ @& G7 I1 i' r# E$ Y
' t' y7 i8 i  N% r" N3 L4 R证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# R* |9 g4 i, i
1 ]* d4 g, p, T1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; W" z& i: c* z8 c2 n* _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" l4 U& z7 T5 N: T1 s2 v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' _* N( N  U6 O5 Q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

& ]' ^+ {  }% l0 X$ c/ A5 bProof:
6 h, f8 B1 |$ a$ Q/ S5 e0 I$ }Let n >1 be an integer
3 P. V) e& t0 [8 w4 V9 k5 Z3 zBasis:   (n=2)
9 A# L/ l# }  I2 Y1 b# v         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

% k. n# P2 x! v" a6 ^Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 p" O8 }/ p2 a& p
$ `5 ~2 V3 e7 u. L3 |Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% Z) N# e7 \3 B0 i' gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" ~. L0 u, P4 q* x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

& d5 `9 v2 r2 S$ J7 NConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

3 l/ E2 s8 Y  y3 k5 U3 W[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

+ z8 G- d. C( F  r第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
, u* x" o$ i( z. D5 r: y$ X" EShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 |. x" x, N% x3 C7 X# x$ c
* w0 L2 e3 ~5 ^2 {* jSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.