出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

5 W7 l/ c6 l$ k1 {# D2。下边证明有没有毛病？
) p0 r* y4 a! p/ M
9 U( W/ R8 }8 v8 |. h9 m* b' c5 ]设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 X% F1 y& ~0 k两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
  n& {" O3 Z3 |8 t5 L! l( e2 Y+ S4 c
a(a-b)=(a+b)(a-b)
% k# f5 R/ \$ E1 J# xa=a+b
a=2a
7 z9 _$ P8 A2 r0 ^, z% L5 Q1=2
1 q' |! B( q0 o8 k: ?5 ?7 g+ Q
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 ^! A# j: ~) |2 {* q
2 z. C/ R2 [2 {! |6 M1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 f' V" a- ]5 l7 y" L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 [' _% e" |8 J: a, j! I$ \9 H) \3 Z, h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ \% d! k/ H. |
Proof:
Let n >1 be an integer
, ?. g, H7 \, D3 uBasis:   (n=2)
  I6 j( T. q( l1 K* ?+ t5 m         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

4 X/ y- r# A! P0 fInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
0 q/ R" t$ L4 G4 a                                     K^3 – K can by divided by 3.

7 m1 g; s- v* t# p- }: HNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 p2 ~( H. K2 \) D1 k1 i4 q7 Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ ?% o. @8 \) I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ H" W" ^3 I) b- W( `% I                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" P& \3 q: j* c' q- x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

7 l+ U- @& `8 p$ \. M. a  e* H[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
2 g% g6 g4 h; q; k! Q2 A  j- H2 M% ~
: |' x. O/ l! Z% Q' ?% O3 ^4 a/ `; E8 b: R第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.