出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! H+ P1 o; d/ H: I+ P! F
2。下边证明有没有毛病？
3 v) ]9 \1 W, G6 X% e
& h: W$ X  E( C设  a=b
; v! ]& C+ s& A4 D" C+ \; e& N3 v
1 l" }; \" `. f) x3 k! x  l6 f则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
* @0 \( ?0 g* [: B+ \/ [a=2a
1=2

7 _  Q% m& ?9 e% b; d- f/ Z! B& d证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
6 M/ J' f4 ^8 P% O7 `. i2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# ~7 b% g7 l8 i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; o' g' c7 w) X1 y

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

+ V9 L+ E/ K9 `  s. D$ Y! lProof:
; Q. U& b1 }# d4 C0 I( e/ O. U' qLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
( `! _) U9 g( D         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 ?5 F, ^: Y$ j
, U* @7 t$ K* t! G4 v! jInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 ^' N# e/ w6 ^1 T! [" ^                                     K^3 – K can by divided by 3.
; V+ z- \$ M8 v0 l: X
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 l# H% |- A. a2 O% D- Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, @2 @0 w3 D5 A, M1 x8 U2 SThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 E1 [$ p% V+ b% c                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 B; X% J: |- J# ~# _' FSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! E% \! b6 g+ S" M- w) L                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 C$ h: E- n" C                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# G! k6 f: r- j& i- \
# R9 B6 E, Z3 d7 ?Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
# E6 `& N5 _, S% A, }) ]+ m
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 [0 K% k+ w$ G3 u& r( D" {
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# Y6 [* m6 T: R8 [9 u# B
* A* ~' r1 U0 j0 GSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.